1.1 KAIDAH PENCACAHAN

Jika sebuah himpunan A memuat r elemen dan himpunan B memuat s elemen, maka yang dimaksud rs adalah pasangan berurutan (a,b)dengan a ϵ A dan b ϵ B. (Dengan kata lain, AxB

memuat rs elemen).

Prinsip di atas dapat digunakan pada sembarang anggota suatu himpunan berhingga manapun dan dapat dipakai untuk menghitung dalam berbagai situasi.

Contoh :

Seseorang mempunyai 4 kaos sport dan 3 celana sport, dengan berapa pasangan yang

berbeda dia dapat memakai kaos dan celana tersebu ?

Jawab:

Ia dapat memakai kaos dengan 4 cara

Ia dapat memakai celana dengan 3 cara

maka ia dapat memakai sebanyak 4 x 3 = 12 cara

Contoh :

Berapa banyaknya bilangan yang terdiri dari 4 angka yang dapat disusun dari angka-angka

0,1,2,3, 4,5, dan 6 tanpa pengulangan ?

Jawab:

Untuk memudahkan kita menjawab soal tesebut ,kita membuat empat tempat yang kosong

sebagai berikut :

 

[Type a quote from the document or the summary of an interesting point. You can position the text box anywhere in the document. Use the Text Box Tools tab to change the formatting of the pull quote text box.]

                                                                

Untuk memilih angka ribuan kita hanya dapat memilih dari angka 1,2,3,4, 5, dan 6. Hal

ini disebabkan 0 tidak mungkin ditempatkan pada posisi paling kiri sehingga posisi pertama

dapat ditempati dengan 6 cara (perhatikan skema di bawah).

 

Jika salah satu angka sudah ditempatkan pada posisi pertama, maka posisi kedua dapat di

tempati dengan 6 cara (diambil dari angka 0 ditambah sisa dari 6 angka yang telah dipakai di depan).

 

6

6

Posisi ketiga dapat ditempati 5 cara dan selanjutnya posisi keempat ditempati dengan 4 cara. Jadi, banyaknya bilangan yang dapat disusun adalah 6 x 6 x 5 x4 atau 720 bilangan.

Contoh :

Dalam pemilihan ketua dan sekretaris OSIS, terdapat 4 calon ketua dan 5 calon sekretaris,

maka kedua jabatan itu dapat diisi dengan 4 x 5 = 20 cara.

Penjelasan; ada 4 caru untuk memilih satu ketua OSIS dai 4 calon dan 5 cara untuk

memilih satu sekretaris dari 5 calon, diisi atau dipilih dalam 4 x 5 = 20 cara atau

kemungkinan.

FAKTORIAL

Kita dapat menyusun bilangan yang terdiri dari angka 3,2, dan 7, seperti berikut ini

            327  372  237  273  723  732 

Banyaknya susunan tersebut dapat dilakukan dengan membuat skema perkalian

 

                                                                                                     seperti pada Contoh 2.

Hasil kali 3 x 2 x 1 dapat kita tulis dengan -notasi faktorial 3! (baca tiga faktorial). Dengan

demikian, kita juga dapat menuliskan lima faktorial sebagai

 

Secara umum dapat dikatakan bahwa

dengan z bilangan asli, dan didefinisikan

Contoh :

1. Untuk n = 4      maka                                              =

2. Untuk n = 5 maka

latihan

1. Hitunglah:

a. 6!

b. 10!

2. Benar atau salahkah pernyataan berikut ini?

a. 6! 3! = 9!

b.5!  5!  0!

d. 

3. Kota A dan B dihubungkan dengan dua jalan, kota B dan C dihubungkan dengan 3 jalan, sedangkan

kota C dan D dihubungkan dengan 4 jalan. Seseorang berangkat dari kota A ke kota D. Berapa banyak rute yang dapat ia lalui?

4. Berapa macam susunan huruf yaag dapat dibentuk oleh huruf-huruf pada kata DOMAIN tanpa ada

pengulangan, jika:

a. huruf pertama adalah vokal?

b. huruf ketiga, adalah konsonan?

c. huruf pertama, ketiga, dan kelima adalah vokal?

5. Tersedia angka-angka 3,7, 2,5, dan 9. Tentukan banyak bilangan yang terdiri dari tiga angka, jika:

a. tiap angka boleh berulang!

b. tiap angka tidak boleh berulang!

6. Susunlah bilangan yang kurang dari 1.000 dari angka-angka 1,2,3,4,5,6, dan 7 jika tidak ada

angka yang berulang.

7. Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 3 angka dan bernilai genap yang dapat disusun dari angka

0, 1,2,3,4, dan 5 tanpa pengulangan?

8. Berapa banyak nomor telepon yang terdiri dari 7 angka, jika angka 0 dan 1 tidak boleh menempati

posisi pertama?

9. Berapa banyak bilangan yang bemilai antara 450 dan 700 dapat disusun dari angka-angka 2, 3, 4,

5, 6, dan 7 di mana angka-angka tersebut boleh berulang?

10. Seorang atlet memiliki 4 jaket sport dan 5 celana sport. Berapa banyak cara ia dapat memakai

pasangan jaket dan celana tersebut?

11. Sebuah gudang memiliki 5 pintu. Seseorang akan masuk gudang tersebut kemudian keluar melalui

pintu yang tidak sama. Berapa macam rute yang mungkin dapat ia lalui?

12. Pengurus suatu kelas yang terdiri dari satu laki-laki dan satu perempuan akan dipilih dari 10 siswa

dan 6 siswi. Berapa banyak cara atau kemungkinan untuk membentuk pengurus kelas tersebut?

13. Sebuah dadu sisi enam dilambungkan dua kali. Berapa banyak kemungkinan hasil percobaan terlebut?

14. Kelompok A terdiri dari 4 orang dan kelompok B terdiri dari 5 orang. Jika antara dua kelompok

tersebut akan saling berjabat tangan, maka berapa banyak jabat tangan yang terjadi antara mereka?

1.2 PERMUTASI

Definisi

Permutasi adalah susunan yang berbeda yang dapat dibentuk dari n unsur, yang diambil dari n unsur atau sebagian unsur.

Teorema

 

·         dibaca permutasi tingkat n dari n unsur

Secara keseluruhan banyak cara untuk membuat susunan (permutasi) yang berbeda adalah:

 

Contoh :

Berapa banyak kendaraan yang dapat diberikan nomor polisi yang menggunakan lambang

bilangan 1,2,3, dan 4 tanpa ada lambang yang berulang di mana tiap nomor terdiri dari

4 angka.

Jawab:

n = 4 yaitu {1,2,3, 4}

P(4,4) = 4! = 4.3.2.1 = 24

Jadi, ada 24 kendaraan.

Permutasi P(n, n) seperti contoh di atas menunjukkan bahwa dari n unsur yang tersedia

diambil seluruhnya untuk disusun. Dari n unsur dapat pula dibuat susunan yang hanya

berunsur runtuk  dengan memperhatikan urutannya.

Kita dapat menulis tiga anggota himpunan {a,b,c,d}  menjadi 24 urutan seperti berikut ini.

abc           bac      cab      dab

abd           bad     cad     dac

acb           bca     cba     dba

acd           bcd     cbd     dbc

adb           bda     cda     dcb

adc           bdc     cdb     dca

Setiap urutan atau susunan dari huruf tersebut disebut pennutasi dari himpun an {a, b, c, d}

Permutasi adalah sembarang susunan dari elemen-elemen suatu himpunan berdasarkan urutan.

Banyaknya permutasi di atas diperoleh dari pengisian tempat

			2v

 

Teorema

·        

Bukti :

Pada sebuah himpunan, banyak pernutasi r elemen yang diambil dari n elemen yang

berbeda ditulis dengan notasi  perhatikan diagram berikut ini.

|

Contoh :

Hitunglah  dengan menggunakan rumus di atas.

Jawab:

 

          = 6.5.4.3.

          = 360

Contoh :

Dengan berapa cara seorang programmer akan membuat password dengan menggunakan 4 huruf dari himpunan huruf {A, B, C, D, E, F, G, H }, jika satu huruf hanya digunakan sekali ?

Jawab:

Banyaknya huruf yang tersedia adalah 8 dan hanya digunakan 4 huruf, maka n = 8 dan r = 4.

LATIHAN 2

1. Hitunglah permutasi berikut ini!

a. 4P3

b. 10P4

c. 7P3

2.Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 3 angka dapat disusun dari angka 4,5,6,7, dan 8 tanpa

pengulangan?

3.Berapa macam susunan pengurus RT yang terdiri dari Ketua, Sekretaris, dan Bendahara dari 8 calon

pengurus?

4. Dalam sebuah rumah terdapat 6 kursi. Ada berapa cara 4 orang dapat duduk pada kursi-kursi

tersebut?

5.Ada berapa macam tumpukan yang dapat dibentuk dari 8 buah buku yang berbeda?

6.Terdapat 5 buku matematika, 4 buku fisika, dan 3 buku kimia akan disusun ke dalam rak yang dapat

memuat semua buku. Berapa susunan yang mungkin jika:

a. buku yang sejenis saling berdampingan?

b. buku-buku fisika saja yang saling berdampingan?

7. 6 pemuda dan 3 pemudi akan duduk berjajar pada sebuah bangku. Berapa macam posisi duduk yang

mungkin jika yang menempati bagian pinggir hanya pemuda saja?

8.Dari 13 karyawan yang potensial akan dipilih dua karyawan untuk menempati jabatan direktur dan

wakil direktur. Berapa macam komposisi karyawan yang mungkin untuk menempati jabatan tersebut?

9.Berapa banyak permutasi dari huruf-huruf pada kata KAMIS, MUSICAL, dan MATH?

1.2.1 PERMUTASI DENGAN BEBERAPA ELEMEN YANG SAMA

Misalkan terdapat 7 bendera, terdiri dari 4 bendera berwarna selain putih dan 3 bendera putih.

Bendera-bendera tersebut akan dipasang di salah satu sisi pintu gerbang suatu kantor. Meskipun terdapat 7 bendera yang dua atau lebih bendera di antaranya berwarna sama, tetapi kita tidak dapat membedakan posisi yang satu dengan posisi yang lain. Kita mengetahui bahwa bendera-bendera tersebut dapat disusun dengan 7! permutasi, namun dengan adanya beberapa bendera berwarna sama, kita tidak dapat membedakan permutasi tersebut secara utuh.Di bawah ini akan dibahas cara mencari banyak permutasi dengan beberapa elemen yang

sama.

Misalkan terdapat n obyek dengan  jenis pertama,  jenis kedua . . . dan , jenis ke-k, dengan adanya n obyek maka terdapat n! permutasi, jika P adalah banyak permutasi yang berbeda, jenis pertama mempunyai  dan seterusnya, maka dengan kaidah pencacahan, diperoleh permutasi berikut ini

Karena banyak unsur ada n obyek maka :     

sehingga :

contoh :

Berapa banyak permutasi dari huruf-huruf pada kata LITERATUR

Jawab :

Elemen elemen yang sama meliputi R dan T masing masing dua buah dan banyak huruf ada 9 buah,maka :

1.2.2 PERMUTASI CYCLIS

Misalkan kita akan menyusun 4 huruf A, B, C, dan D secara melingkar, seperti pada gambar di samping ini.Dengan catatan bahwa ABCD, BCDA, CDAB, dan DABC tidak dibedakan, jadi, dalam hal ini sebuah huruf akan selalu menempati jalan lingkaran tersebut. Dengan kaidah pencacahan, kita dapat menyajikan dengan rumus berikut :

 

Contoh :

Dengan berapa cara 9 kue yang berbeda dapat disusun melingkar di atas sebuah meja?

Jawab:

P = (9 - 1)!

   =8!

   = 8.7.6.5.4.3.2.1

   = 40.320

 LATIHAN 3

1. Berapa banyak permutasi dari huruf-huruf pada kata BATAVIA, ALJABAR, MISSISSIPI, dan

PHILOSOPHICAL

2. Terdapat 4 bendera merah, 5 bendera biru, dan 6 bendera kuning. Berapa macam komposisi warna

bendera jika dipasang berjajar pada sebuah jalan?

3. Berapa banyak bilangan yang berbeda, dapat disusun dari angka-angka pada bilangan:

a. 314159

b. 115875

c. 21182818

4. Berapa banyak permutasi huruf-huruf pada kata CURRICULUM jika:

a. dimulai dari huruf M?

b. dimulai dari huruf CC?

c. dimulai dan diakhiri dengan huruf R?

5. 9 kursi yang berbeda akan disusun secara melingkar. Berapa banyak susunan yang mungkin dari

kursi-kursi tersebut?

6. 5 pria dan 4 wanita akan duduk secara melingkar. Berapa macam posisi duduk mereka jika dua

orang yang jenis kelaminnya sama tidak boleh berdekatan?

7. Sebuah peta yang terdiri dari 4 daerah akan diberi warna yang berbeda. Jika tersedia 7 warna maka

berapa macam komposisi warna yang mungkin?

8. 6 orang akan duduk dengan posisi melingkar. Jika terdapat dua sahabat yang selalu berdampingan,

berapa macam posisi duduk mereka?

9. 9 orang yang terdiri atas 2 orang dari partai Republik, 3 orang dari partai Demokrat, dan 4 orang

dari partai Buruh akan melakukan perundingan dengan duduk melingkar. Berapa macam posisi

duduk mereka jika setiap anggota dari satu partai harus saling berdekatan?

10. 6 pasang suami isteri akan duduk di deretan paling depan pada suatu resepsi. Berapa macam posisi

duduk mereka jika antara suami isteri saling melingkar dan harus saling berdampingan?

1.3 KOMBINASI

Susunan k objek dengan urutan tidak diperhatikan dari n objek yang tersedia di mana k  n sering dipopulerkan dengan istilah Kombinasi k objek dari n objek yang tersedia.Banyaknya kombinasi k objek dari n objek di tulis  dirumuskan:

                                                                                               

Himpunan bagian yang beranggotakan r elemen dari himpunan dengan n elemen sering disebut kombinasi r elemen yang diambil dari n elemen yang berbeda. Sering dituliskan dalam bentuk

Contoh :

Berapa banyak macam kartu yang mungkin jika pada 1 set kartu bridge diambil 5 kartu?

Jawab:

Banyaknya kartu 52 buah, jadi n = 52 dan r = 5

        =2.598960

Jadi, terdapat 2.598.960 kemungkinan 5 jenis kartu yang diperoleh dari 52 kartu

LATIHAN

·          Dari 8 pelajar akan dipilih 5 pelajar untuk mengikuti jambore pramuka. Berapa banyaknya cara memilih pelajar tersebut ?

·         Seseorang akan memberikan 4 buku dari 15 buku berbedayang dia miliki. Dengan berapa cara

·         dapat memberikan 4 buku yang berbeda jenisnya ?

·         Pada sebuah tes, seorang peserta hanya diwajibkan mengerjakan 6 dari 10 soal yang diberikan.

·         Berapa jenis pilihan soal yang mungkin untuk dikerjakan ?

·         Berapa banyak garis lurus yang dapat dibuat melalui 17 titik yang tidak segaris ?

·         Parlemen suatu negara mempunyai 58 anggota dari partai Republik dan 42 anggota dari partai

Demokrat, jika akan dibentuk suatu komisi yang terdiri dari 6 orang dari partai Demokrat dan 4 dari partai Republik, berapa jenis komposisi komisi yang dapat dibentuk ?

·         Berapa banyak diagonal segi-9 dapat dibentuk ?

·         Dalam suatu pentas kesenian terdapat dua macam kreasi tari yang masing-masing memerlukal 3 penari dan 4 penari. Berapa cara penyusunan formasi penari yang dapat dibentuk dari 10 penari yang tersedia, jika tidak ada satu penari yang merangkap dua jenis tarian tersebut ?

·         Berapa banyak cara mengambil 4 kaos dari 10 kaos yang tersimpan dalam almari ?

·         Berapa banyak susunan tim volley dari 12 pemain yang tersedia ?

·         Berapa banyak segitiga yang dapat dibuat melalui 13 tirik yang tidak segaris ?

·         Dari 20 penari di suatu sanggar, pada saat yang bersamaal mereka melakukan pertunjukan di hotel A sebanyak 5 penari dan di hotel B sebanyak 9 penari. Berapa macam komposisi penari yang menari di kedua tempat tersebut?

·         12 buku yang berbeda akan dibagi rata kepada 4 anak. Berapa jenis buku yang berbeda dapat

diterima oleh masing-masing anak?

1.4 RUANG SAMPEL

Misalkan kita melakukan percobaan dengan melemparkan 2 koin bersamaan. Jika sisi koin

euialah Gambar G dan Angka A, maka kemungkinan hasil dari percoban tersebut adalah:

{(G, G), (G, A), (A, G), (A, A)}

Himpunan tersebut dinamakan ruang sampel suatu percobaan. Masing-masing elemen tersebut

dinamakan titik sampel, sedangkan himpunan {(G, A), (A, G)} disebut kejadian. Dengan perkataan

lain, himpunan bagian dari ruang sampel adalah suatu kejadian dari suatu percobaan.

Contoh :

Tentukan ruang sampel pada percobaan pelemparan 1 dadu sebanyak satu kali dan tentukan

pula kejadian munculnya mata dadu genap.

Jawab:

Tiap sisi dadu bermata l, 2, 3, 4, 5, dan 6. Maka ruang sampelnya {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Kejadian muncul mata dadu genap adalah {2, 4, 6}

LATIHAN

Tulislah ruang sampel dan kejadian pada peristiwa-peristiwa di bawah ini!

·         Dua koin dilemparkan bersama-sama.

Kejadian : muncul dua gambar (keterangan Gambar G dan Angka A)

·         Memilih kartu bernomor I sampai dengan 11.

Kejadian : mendapatkan kartu bernomor kelipatan 3.

·         Satu dadu dan satu koin dilemparkan bersama.

Kejadian : muncul mata dadu prima dan muncul angka pada koin.

·         Memilih 3 pelajar teladan dari 5 pelajar yang terdiri dari 3 pelajar putri dan 2 pelajar putra.

Kejadian : terpillih 3 pelajar putri.

·         Pengambilan 1 kartu dari 13 kartu diamond pada kartu bridge.

Kejadian : mendapatkan kartu bergambar.

·         Dua dadu dilemparkan bersama.

Kejadian muncul mata dadu berjumlah 9.

·         Mengambil 2 kafiu dari 5 kartu bernomor 1 sampai 5.

Kejadian : muncul 2 kartu bernomor genap.

·         Mengambil 3 bola dari sebuah kotak yang terdiri dari 2 bola merah dan 2 bola hijau.

Kejadian : mendapatkan jumlah bola merah lebih dari bola hijau.

1.5 PELUANG

Sebuah koin dengan sisi G dan A dilemparkan sekali. Hasil yang mungkin dari percobaan

tersebut adalah muncul sisi G atau sisi A atat {(G, A)}. Ada dua hasil yang mungkin dapat terjadi dari 1 lemparan. Bila percobaan itu dilakukan berulang kali, maka akan diperoleh perbandingan     ,Perbandingan    disebut dengan peluang muncul sisi A pada percobaan tersebut.

Misalkan S adalah ruang sampel suatu percobaan dengan n hasil yang mungkin dan masing-

masing mempunyai kesempatan muncul yang sama. Jika kejadian A adalah himpunan bagian

dari S sedemikian sehingga A memuat 4 elemen, maka peluang kejadian A adalah P(A), dengan:

 

Kejadian A pada ruang sampel S dikatakan pasti terjadi (kepastian) jika A = S dan dikatakan

kemustahilan jika A = .peluang peluang tersebut nilainya aadalah :

Dengan demikian, peluang suatu kepastian adalah 1 dan kemustahilan adalah 0. Kita dapat melihat bahwa peluang suatu kejadian adalah bilangan dari 0 ssampai dengan 1.

Kemustahilan        0                                              1    kepastian

Contoh :

Pada percobaan pelemparan 1 dadu sebanyak satu kali peruang kejadian muncul mata dadu prima lebih dari 5 adalah kemustahilan sedangkan d;;g kejadian muncul mata dadu

sedikitnya 1 adalah kepastian.

Contoh :

Dalam sebuah kotak terdapat x permen rasa jeruk. Jika diambil saru permen, berapa peluang

a. permen rasa jeruk ?

b. permen rasa nanas ?

Jawab:

S= {permen rasa jeruk dalam kotak} dan n(S) = x

a. Jika   {kejadian terambilnya satu peffnen rasa jeruk}

                 

Jadi,

P() = 1 dalam kasus di atas merupakan suatu kepastian atau kejadian sudah pasti terjadi.

b. Jlka  {kejadian terambilnya satu permen rasa nanas} =

n() = 0

Jadi,

P() = 0 merupakan kejadian mustahil atau kejadian tidak mungkin terjadi.

Kisaran Nilai Peluang

Jika S adalah suatu ruang contoh dari suatu percobaan, E adalah suatu kejadian, dan P adalah suatu fungsi peluang, maka P(E) adalah peluang kejadian E yang bernilai nyata jika

memenuhi tiga sifat berikut.

 dan kejadian yang terpisah atau

 

1.6 FREKUENSI HARAPAN

Jika sebuah dadu dilemparkan sebanyak 60 kali maka peluang muncul mata dadu 5 adalah |.

Dengan peluang  ini kita mempunyai harapan akan muncul mata dadu 5 sebanyak  ,walaupun dalam kejadian sebenarnya mungkin tidak muncul tepat 10 kali, namun jika tiap mata dadu mempunyai kemungkinan yang sama untuk muncul, maka sudah sepantasnya dikatakan frekuensi harapannya adalah bilangan tersebut.Dalam sejumlah percobaan, frekuensi harapan dari suatu kejadian sama dengan peluang kejadian tersebut dikalikan banyak percobaan.

Jika E adalah suatu kejadian dalam ruang contoh S dan P(E) adalah peluang terjadinya dalam n kali percobaan maka frekuensi harapan kejadian E didefinisikan :

F(E) = P(E)

Contoh

Sekeping uang logam dilemparkan 30 kali, maka frekuensi harapan muncul gambar adalah

F(G)= |30=15.

1.7 KEJADIAN MAJEMUK

1.7.1 Komplemen

Kejadian bukan A dari himpunan Sd itulis dengan A' simbol (atau  ) dan disebut komplemen

dari A' Jika A mempunyai  elemen, dan S elemen maka A'  mempunyai  elemen. Maka p(A') adalah peluang terjadinya A, dan

P(A') =

         

P(A)=1-p(A)

1.7.2  Kejadian yang Saling Bebas dan kejadian bersyarat

Misalkan A dan B adalah kejadian-kejadian pada ruang sampel S. A dan B disebut dua kejadian saling bebas apabila kemunculan kejadian yang satu tidak dipengaruhi oleh kemunculan kejadian lainnya.Dengan demikian dapat dikatakan bahwa :

Kejadian A dan B saling bebas jika dan hanya jika  

Jika),  maka kejadian A dan B tidak saling bebas

Jika salah satu kejadian mempengaruhi terjadinya kejadian yang lain maka dua kejadian

tersebut tidak saling bebas (kejadian bersyarat). Pada kejadian bersyarat berlaku :

Keterangan : Peluang kejadian A dan B

: Peluang kejadian A

: Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi.

Contoh:

Sebuah kantong berisi 6 kelereng hitam dan 3 kelereng putih. Diambil secara acak dua kali berturut-turut masing-masing satu tanpa pengembalian. Berapa peluang mendapatkan :

a. keduanya hitam

Jawab:

Karena tanpa pengembalian maka pada pengambilan kedua terpengaruh hasil pada pengambilan

pertama.

a.        peluang terambilnya bola pertama hitam 

peluang terambilnya bola kedua hitam dengan syarat terambilnya bola pertama hitam   =

  

LATIHAN

Dua orang mengunjungi supermarket yang sama, sekali dalam minggu yang sama (Senin sampai

Jumat). Masing-masing mempunyai besar kemungkinan yang sama untuk mlngunjungi tempat itu

pada hari apa saja. Berapa peluang mereka mengunjungi tempat itu:

a. pada hari yang sama?

b. pada hari yang berurutan?

Dalam satu boks terdapat 3 disket paket ws, 4 disket paket lotus, dan 5 disket paket dbase. Semua

disket tersebut tidak berlabel dan berwarna sama sehingga sukar dibedakan. Diambil 1 disket berturut-

furut sebanyak 2 kali tanpa pengembalian. Berapa peluang mendapatkan:

a. paket disket pertama dan kedua sama?

b. disket kedua paket dbase?

Pada 1 set kartu bridge diambil secara acak 3 kartu sebanyak dua kali berturu-turut dengan pengem-

balian. Berapa peluang pada pengambilan pertama mendapatkan 3 King dan pada penjambilan

kedua mendapatkan 3 Queen?